Sistema de Ecuaciones Lineales y el Metodo de Gauss - Jordan part 2

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Sistema de Ecuaciones Lineales y el Metodo de Gauss - Jordan part 2

Mensaje  Darkness el Jue Feb 18, 2010 4:53 pm

• Multiplicar una ecuación por un escalar no nulo.
• Intercambiar de posición dos ecuaciones
• Sumar a una ecuación un múltiplo de otra.
Estas operaciones pueden representarse con matrices elementales que se usan también en otros procedimientos como la factorización LU o la diagonalización por congruencia de una matriz simétrica.
En nuestro ejemplo, eliminamos x de la segunda ecuación sumando 3/2 veces la primera ecuación a la segunda y después sumamos la primera ecuación a la tercera. El resultado es:

Ahora eliminamos y de la primera ecuación sumando -2 veces la segunda ecuación a la primera, y sumamos -4 veces la segunda ecuación a la tercera para eliminar y.

Finalmente eliminamos z de la primera ecuación sumando -2 veces la tercera ecuación a la primera, y sumando 1/2 veces la tercera ecuación a la segunda para eliminar z.

Despejando, podemos ver las soluciones:

Para clarificar los pasos (y es en realidad lo que las computadoras manejan), se trabaja con la matriz aumentada. Podemos ver los 3 pasos en su notación matricial:
Primero:

Después,

Por último.

Si el sistema fuera incompatible, entonces nos encontraríamos con una fila como esta:

Que representa la ecuación: 0x + 0y + 0z = 1, es decir, 0 = 1 que no tiene solución.

SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Cuando se considera una función lineal , por ejemplo: , la cual podría servir para determinar el número de personas ( ) que podrían alimentarse con una cantidad de kilogramos de arroz, se puede presentar la situación siguiente: Suponiendo que se tienen personas invitadas para un evento especial, si se quiere determinar el número de kilogramos de arroz que habría que preparar para alimentarlas, tendría que plantearse la siguiente pregunta: ¿Para cuál número real se cumple que ? Este tipo de pregunta surge con frecuencia y da origen a lo que llamamos ecuaciones lineales, pues sabiendo que , se plantea la ecuación lineal: y al resolverla se encuentra el número buscado: la preimagen de 122 mediante , que es, en este caso, , pues .
Se necesitarían, entonces, Kg. de arroz para el evento.
Si ahora se tiene una transformación lineal con transformaciones Lineales

Definida por:

Una situación análoga a la anterior sería la siguiente:
Dado el punto en , ¿Cuál será el punto en tal que ? o, dicho de otro modo: ¿Cuál será la preimagen de mediante ? Como , se tiene que cumplir:


Pero, dado que dos vectores en son iguales sólo si coinciden en sus tres coordenadas, se debe cumplir lo siguiente:
1.
2.
3.

Las ecuaciones 1), 2) y 3) deben cumplirse todas para que sea cierto que .
Estamos en presencia de un sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, y su solución es un vector de , que en este caso es .
Esto significa que:


Los sistemas de ecuaciones lineales pueden tener una solución única, tener infinitas soluciones, o no tener ninguna solución. Este último caso es el que se da cuando el vector cuya preimagen se busca, no pertenece al rango de la función. A continuación, se

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