Sistema de Ecuaciones Lineales y el Metodo de Gauss - Jordan part 1

INTRODUCCIÓN

En matemática y álgebra lineal, un sistema de ecuaciones lineales, también conocido como sistema lineal de ecuaciones o simplemente sistema lineal, es un conjunto de ecuaciones lineales sobre un cuerpo o un anillo conmutativo. Un ejemplo de sistema lineal de ecuaciones sería el siguiente:

El problema consiste en encontrar los valores desconocidos de las variables x1, x2 y x3 que satisfacen las tres ecuaciones.
El problema de los sistemas lineales de ecuaciones es uno de los más antiguos de la matemática y tiene una infinidad de aplicaciones, como en procesamiento digital de señales, estimación, predicción y más generalmente en programación lineal así como en la aproximación de problemas no lineales de análisis numérico.












MÉTODO DE GAUSS - JORDAN
En matemáticas, la eliminación Gaussiana, eliminación de Gauss o eliminación de Gauss-Jordan, llamadas así debido a Carl Friedrich Gauss y Wilhelm Jordan, son algoritmos del álgebra lineal para determinar las soluciones de un sistema de ecuaciones lineales, encontrar matrices e inversas. Un sistema de ecuaciones se resuelve por el método de Gauss cuando se obtienen sus soluciones mediante la reducción del sistema dado a otro equivalente en el que cada ecuación tiene una incógnita menos que la anterior. Cuando se aplica este proceso, la matriz resultante se conoce como: "forma escalonada".
El método fue presentado por el matemático Carl Friedrich Gauss, pero se conocía anteriormente en un importante libro matemático chino llamado Jiuzhang suanshu o Nueve capítulos del arte matemático.
Johann Carl Friedrich Gauss (30 de abril de 1777 – 23 de febrero de 1855, s. XIX), fue un matemático, astrónomo y físico alemán que contribuyó significativamente en muchos campos, incluida la teoría de números, el análisis matemático, la geometría diferencial, la geodesia, el magnetismo y la óptica. Considerado "el príncipe de las matemáticas" y "el matemático más grande desde la antigüedad", Gauss ha tenido una influencia notable en muchos campos de la matemática y de la ciencia, y es considerado uno de los matemáticos que más influencia ha tenido en la historia. Fue de los primeros en extender el concepto de divisibilidad a otros conjuntos. Gauss fue un niño prodigio de quien existen muchas anécdotas acerca de su asombrosa precocidad siendo apenas un infante, e hizo sus primeros grandes descubrimientos mientras era apenas un adolescente. Completó su magnum opus, Disquisitiones Arithmeticae a los veintiún años (1798), aunque no sería publicado hasta 1801. Un trabajo que fue fundamental para que la teoría de los números se consolidara y ha moldeado esta área hasta los días presentes.
Wilhelm Jordan (1842–1899) fue un geodesista alemán que hizo trabajos de topografía en Alemania y África. Es recordado entre los matemáticos por su algoritmo de Eliminación de Gauss-Jordan, que aplicó para resolver el problema de mínimos cuadrados. Esta técnica algebráica apareció en su Handbuch der Vermessungskunde (1873).
Wilhelm Jordan, en su trabajo sobre topografía, usó el método de mínimos cuadrados de forma habitual. Como en astronomía, cuando se realizan observaciones geodésicas, existe una redundancia en medidas de ángulos y longitudes. No obstante, existen relaciones que conectan las medidas, y se pueden escribir como un sistema lineal sobre-determinado (más ecuaciones que incógnitas), al cual se le aplica el método. El propio Jordan participó en trabajos de geodesia a gran escala en Alemania como en la primera topografía del desierto de Libia. En 1873 fundó la revista alemana Journal of Geodesy y ese mismo año publicó la primera edición de su famoso Handbuch.
Como los métodos de mínimos cuadrados eran tan importantes en topografía, Jordan dedicó la primera sección de su Handbuch a este asunto. Como parte de la discusión, dio una detallada presentación del método de eliminación de Gauss para convertir el sistema dado en triangular. Entonces mostró cómo el técnica de sustitución hacia atrás permitía encontrar la solución cuando se conocían los coeficientes. Sin embargo, anota que si se realiza esta sustitución no numéricamente, sino algebraicamente, se pueden obtener las soluciones de las incógnitas con fórmulas que involucran a los coeficientes del sistema. En la primera y segunda edición (1879) de su libro, simplemente dio estas fórmulas, pero en la cuarta edición (1895), dio un algoritmo explícito para resolver un sistema de ecuaciones con matriz de coeficientes simétrica, que son las que aparecen en los problemas de mínimos cuadrados. Este algoritmo es, en efecto, el método de Gauss-Jordan. Aunque Jordan no usó matrices como lo hacemos actualmente, realizaba el trabajo sobre tablas de coeficientes y explicaba cómo pasar de una fila a la siguiente, como muchos textos hacen hoy en día. La mayor diferencia entre su método y el actual es que Jordan no hacía el pivote de cada fila igual a 1 durante el proceso de solución. En el paso final, simplemente expresaba cada incógnita como un cociente con el pivote como denominador.
A mediados de la década de 1950, la mayoría de las referencias al método de Gauss-Jordan se encontraban en libros y artículos de métodos numéricos. En las décadas más recientes ya aparece en los libros elementales de álgebra lineal. Sin embargo, en muchos de ellos, cuando se menciona el método, no se referencia la inventor.
Ejemplo:
Supongamos que es necesario encontrar los números x, y, z, que satisfacen simultáneamente estas ecuaciones:

Esto es llamado un sistema lineal de ecuaciones. El objetivo es reducir el sistema a otro equivalente, que tenga las mismas soluciones. Las operaciones (llamadas elementales) son estas: